1.理解组合和排列
排列（permutation）为任务的有序安置。
命题 1.1 从n个元素集合中抽取容量为r的样本，重复抽样有\(n^r\)个不同的有序样本，无重复抽样有\(n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)\)个不同的有序样本。
推论 1.1 n个元素的有序排列个数是\(n！\)。
例 1.1 生日问题
假设一个房间n个人，至少有两个人在生日在同一天的概率是多少？
P（A）较难求，可通过\(P（A）=1-P（A^c）\)计算。且：
\(P(A^c)= {365 \times 364 \times \cdots \times (365-n+1) \over 365^n}\)
可以看出仅n=23人时，至少有两个人生日在同一天的概率就超过0.5。
组合为无重复抽取，且不考虑抽取顺序。根据乘法原理，有序样本个数等于无序样本个数乘以每一样本的有序排列数。
\({n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \over r! } = { n! \over (n-r)!r!}\)，记为\(\binom n r \)。
命题 1.2 从n个对象中无重复地抽取r个无序样本的个数是\(\binom n r \)（binomial coefficient）。
例 1.2 检查每一个产品费时，费力，或有破坏性，故仅一小部分产品才被抽检。假设一批产品n个，从中抽取r个，共有\(\binom n r \)个样本。假设这批产品有k个次品。样本中包括m个次品的概率是多少？
从这批产品k个次品中选出m个共有\(\binom k m\)种，从剩余的n-k个正品中选出r-m个，共有\(\binom {n-k}{ r-m}\)种，由乘法原理得r中选m个次品，共有\(\binom k m \binom {n-k}{ r-m}\)种，概率为\({\binom k m \binom {n-k}{ r-m}} \over \binom n r \)。
推论 1.2 n个对象分成r个类，第i个类含有\(n_i\)个对象，那么这种分类方式共有：\(\binom n {n_1n_2 \cdots n_r} = { n! \over n_1!n_2! \cdots n_r!}\)。
2.条件概率、全概率定律和贝叶斯公式
Last Modified·2017年10月11日 11:28
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