概率论应用实例

linxiaoyun 2017.10.9 11:37 918 0
常识 数学

1.理解组合和排列

排列(permutation)为任务的有序安置。

命题 1.1 从n个元素集合中抽取容量为r的样本,重复抽样有\(n^r\)个不同的有序样本,无重复抽样有\(n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)\)个不同的有序样本。

推论 1.1 n个元素的有序排列个数是\(n!\)

例 1.1 生日问题

假设一个房间n个人,至少有两个人在生日在同一天的概率是多少?

P(A)较难求,可通过\(P(A)=1-P(A^c)\)计算。且:

\(P(A^c)= {365 \times 364 \times \cdots \times (365-n+1) \over 365^n}\)

各值对应概率

可以看出仅n=23人时,至少有两个人生日在同一天的概率就超过0.5。

组合为无重复抽取,且不考虑抽取顺序。根据乘法原理,有序样本个数等于无序样本个数乘以每一样本的有序排列数。

\({n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \over r! } = { n! \over (n-r)!r!}\),记为\(\binom n r \)

命题 1.2 从n个对象中无重复地抽取r个无序样本的个数是\(\binom n r \)(binomial coefficient)。

例 1.2 检查每一个产品费时,费力,或有破坏性,故仅一小部分产品才被抽检。假设一批产品n个,从中抽取r个,共有\(\binom n r \)个样本。假设这批产品有k个次品。样本中包括m个次品的概率是多少?

从这批产品k个次品中选出m个共有\(\binom k m\)种,从剩余的n-k个正品中选出r-m个,共有\(\binom {n-k}{ r-m}\)种,由乘法原理得r中选m个次品,共有\(\binom k m \binom {n-k}{ r-m}\)种,概率为\({\binom k m \binom {n-k}{ r-m}} \over \binom n r \)

推论 1.2 n个对象分成r个类,第i个类含有\(n_i\)个对象,那么这种分类方式共有:\(\binom n {n_1n_2 \cdots n_r} = { n! \over n_1!n_2! \cdots n_r!}\)

2.条件概率、全概率定律和贝叶斯公式

Last Modified·2017年10月11日 11:28

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